∠UBE = 172° (см. рисунок). Найти ∠BCE.

Угол ∠UBE - внешний угол окружности, опирающийся на дугу BE. ∠BCE - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу BE.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Градусная мера дуги BE равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. В данном случае, центральный угол ∠BOE равен градусной мере дуги BE. Внешний угол ∠UBE равен 172°. Внутренний угол ∠OBE, смежный с ∠UBE, равен 180° - 172° = 8°.

Центральный угол ∠BOE равен удвоенному вписанному углу ∠BCE. Значит, ∠BOE = 2 * ∠BCE. Но ∠BOE = 360° - ∠OBE, где ∠OBE - угол, смежный с ∠UBE. Таким образом, ∠BOE = 360° - 172° = 188°.

Тогда, ∠BCE = ∠BOE / 2 = 188° / 2 = 86°.