∫ x dx / (x-2) равен

Давайте решим этот интеграл.

Интеграл, который нам нужно найти, выглядит так:

$$ int \frac{x}{x-2} dx $$

Чтобы решить этот интеграл, мы можем использовать метод подстановки или деления в столбик, чтобы упростить выражение под интегралом.

Выполним деление:

$$ \frac{x}{x-2} = \frac{x-2+2}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} + \frac{2}{x-2} = 1 + \frac{2}{x-2} $$

Теперь мы можем переписать интеграл:

$$ int \frac{x}{x-2} dx = \int \left(1 + \frac{2}{x-2}\right) dx $$

Теперь интеграл можно разбить на два интеграла:

$$ \int \left(1 + \frac{2}{x-2}\right) dx = \int 1 dx + \int \frac{2}{x-2} dx $$

Интегрируем каждый член отдельно:

$$ \int 1 dx = x + C_1 $$ $$ \int \frac{2}{x-2} dx = 2 \int \frac{1}{x-2} dx $$

Для второго интеграла используем подстановку: пусть $$u = x - 2$$, тогда $$du = dx$$:

$$ 2 \int \frac{1}{x-2} dx = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln|u| + C_2 = 2 \ln|x-2| + C_2 $$

Теперь сложим результаты интегрирования:

$$ \int \frac{x}{x-2} dx = x + 2 \ln|x-2| + C $$

Где C - произвольная константа интегрирования.