16.9 ★★☆ Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. На его гипотенузу опустили высоту. В каком отношении она её делит (рис. 16.28)?

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с углом ∠A = 30°, ∠C = 90°. Пусть BH - высота, опущенная на гипотенузу AC. Нам нужно найти отношение AH/HC. 1. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, BC = 1/2 AB. 2. Рассмотрим треугольник ABH. Угол ∠BAH = 30°, значит, ∠ABH = 90° - 30° = 60°. 3. Рассмотрим треугольник CBH. Угол ∠BCH = 90° - ∠A = 90°-30° = 60°, значит, ∠CBH = 30°. 4. Обозначим AH = x. Тогда из прямоугольного треугольника ABH: \[\cos(30°) = \frac{AH}{AB} = \frac{x}{AB}\] \[AB = \frac{x}{\cos(30°)} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2x}{\sqrt{3}}\] 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH: \[\cos(60°) = \frac{HC}{BC}\] \[HC = BC \cdot \cos(60°) = BC \cdot \frac{1}{2}\] 6. Так как BC = 1/2 AB, то: \[BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}\] 7. Тогда: \[HC = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2\sqrt{3}}\] 8. Теперь найдем отношение AH/HC: \[\frac{AH}{HC} = \frac{x}{\frac{x}{2\sqrt{3}}} = \frac{x \cdot 2\sqrt{3}}{x} = 2\sqrt{3}\] Таким образом, высота делит гипотенузу в отношении 3:1.