16.2 ★☆☆ В четырёхугольнике две противоположные стороны равны, а два противоположных угла равны 90°. Докажите, что все углы этого четырёхугольника прямые (рис. 16.24).

Дано: Четырехугольник ABCD, AB=CD, ∠A = ∠C = 90° Доказать: ∠B = ∠D = 90° Доказательство: 1. Проведем диагональ BD. 2. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них BD – общая сторона, AB = CD (по условию), ∠A = ∠C = 90° (по условию). 3. Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABD = ∠CDB и ∠ADB = ∠CBD. 5. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. 6. Подставим известные значения: 90° + ∠B + 90° + ∠D = 360°. 7. Получаем: ∠B + ∠D = 180°. 8. Поскольку ∠ABD = ∠CDB и ∠ADB = ∠CBD, а также ∠B + ∠D = 180°, то ∠B = ∠D = 90°. Таким образом, все углы четырехугольника ABCD прямые, что и требовалось доказать.