19.5 ★☆☆ Дана прямая и две точки А и В по одну сторону от неё (рис. 19.45). Может ли на этой прямой быть больше одной точки М такой, что AM = BM?

Нет, на прямой может быть только одна такая точка M, что AM = BM.

Доказательство:

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B, - это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Серединный перпендикуляр - это прямая, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через его середину.

Если прямая (данная в условии) пересекает серединный перпендикуляр к отрезку AB, то точка пересечения и будет единственной точкой M на этой прямой, равноудаленной от A и B. Если прямая параллельна серединному перпендикуляру или совпадает с ним, то либо не будет ни одной такой точки (если прямая не является серединным перпендикуляром), либо все точки прямой будут равноудалены от A и B (если прямая является серединным перпендикуляром). В данном случае, так как точки A и B расположены по одну сторону от прямой, прямая не может быть серединным перпендикуляром к отрезку AB, а значит, может быть максимум одна точка M, удовлетворяющая условию AM = BM.