12. ★ Bсе стороны треугольника равны 1. Из середины одной стороны на две другие опустили перпендикуляры. Найдите расстояние между концами этих перпендикуляров. (» рис.)

Пусть дан равносторонний треугольник ABC со сторонами, равными 1. Обозначим середину стороны AB как M. Из точки M опустим перпендикуляры MP на AC и MQ на BC. Нужно найти расстояние PQ.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, все его углы равны 60°.

Рассмотрим треугольник AMP. ∠AMP = 90°, ∠MAP = 60°. Следовательно, ∠APM = 30°.

Тогда AP = \(\frac{1}{2}\) AM = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\).

Аналогично, BQ = \(\frac{1}{4}\).

Тогда PC = BC - BQ = 1 - \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\).

Теперь рассмотрим треугольник PQC. ∠PCQ = 60° (угол C равностороннего треугольника).

Применим теорему косинусов для треугольника PQC:

\[ PQ^2 = PC^2 + QC^2 - 2 \cdot PC \cdot QC \cdot \cos{60°} \]

Подставим значения: PC = \(\frac{3}{4}\), QC = \(\frac{3}{4}\), \(\cos{60°}\) = \(\frac{1}{2}\).

\[ PQ^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{16} + \frac{9}{16} - \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{18}{16} - \frac{9}{32} = \frac{36 - 9}{32} = \frac{27}{32} \]

Тогда:

\[ PQ = \sqrt{\frac{27}{32}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 2}} = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8} \]

Ответ: \(\frac{3\sqrt{6}}{8}\)

Проверка за 10 секунд: В равностороннем треугольнике все стороны равны.

Доп. профит: База. Знание теоремы косинусов и свойств равностороннего треугольника.