задача 8. ★☆☆ Одна сторона треугольника в 2 раза больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите меньший из углов треугольника.

Пусть одна сторона треугольника равна a, тогда другая сторона равна 2a. Угол между этими сторонами равен 60°.

Обозначим угол, лежащий против стороны a, как α. Применим теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{2a}{\sin{60°}} \]

Отсюда:

\[ \sin{\alpha} = \frac{a \cdot \sin{60°}}{2a} = \frac{\sin{60°}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]

Найдем угол α:

\[ \alpha = \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{4}} \]

Так как \(\frac{\sqrt{3}}{4} ≈ 0.433\), то \(\alpha ≈ 25.6°\).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть третий угол равен γ, тогда:

\[ \gamma = 180° - 60° - \alpha = 120° - \alpha \]

Подставим значение α:

\[ \gamma ≈ 120° - 25.6° = 94.4° \]

Наименьший угол в треугольнике равен углу α.

Ответ: \(\arcsin{\frac{\sqrt{3}}{4}} ≈ 25.6°\)

Проверка за 10 секунд: Угол напротив меньшей стороны всегда меньше.

Доп. профит: База. Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов.