Контрольные задания > 3. ☆☆☆ Медиана, проведённая к гипо- тенузе прямоугольного треугольника, равна одному из его катетов. Найдите острые углы этого треугольника.
Вопрос:

3. ☆☆☆ Медиана, проведённая к гипо- тенузе прямоугольного треугольника, равна одному из его катетов. Найдите острые углы этого треугольника.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 45° и 45° или 30° и 60°

Краткое пояснение: Необходимо рассмотреть два случая и найти острые углы прямоугольного треугольника для каждого из них.
  • Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Медиана CM проведена к гипотенузе AB.
  • По условию, CM равна одному из катетов. Рассмотрим два возможных случая:
  • Случай 1: CM = AC
    • Так как медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то CM = MB = AM.
    • Таким образом, треугольник AMC — равнобедренный (CM = AC), следовательно, ∠MAC = ∠CMA.
    • Так как CM = AM, то треугольник CMB тоже равнобедренный, следовательно, ∠MCB = ∠MBC.
    • Пусть ∠MAC = x, тогда ∠CMA = x. Поскольку ∠MCB = ∠MBC, то ∠MCB = ∠MBC = y.
    • Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, поэтому ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
    • x + y + 90° = 180°, значит x + y = 90°.
    • В треугольнике AMC: ∠AMC + ∠MAC + ∠ACM = 180°, или x + x + ∠ACM = 180°.
    • ∠ACM = 180° - 2x.
    • Так как CM — медиана, то AM = MB, и ∠MCB = ∠MBC = y.
    • В треугольнике CMB: ∠CMB + ∠MBC + ∠BCM = 180°, или ∠CMB + y + y = 180°.
    • ∠CMB = 180° - 2y.
    • Учитывая, что CM — медиана, AM = MB, и треугольник AMC равнобедренный.
    • Таким образом, углы при основании AC равны, то есть ∠MAC = ∠MCA = x.
    • В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
    • ∠A + ∠B = 90° (так как ∠C = 90°).
    • ∠MCA + ∠MCB = 90°, следовательно, x + y = 90°.
    • Из равенства CM = AC следует, что ∠A = 30° и ∠B = 60°.
  • Случай 2: CM = BC
    • Аналогично, CM = AM = MB.
    • Треугольник CMB — равнобедренный (CM = BC), следовательно, ∠CMB = ∠MBC.
    • В этом случае ∠B = 45°, тогда ∠A = 45°.

Ответ: Острые углы прямоугольного треугольника могут быть 45° и 45° или 30° и 60°.

Цифровой атлет: Ты решил сложную задачу, браво! Скилл прокачан до небес.

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие