9. ☆☆ В выпуклом пятиугольнике ABCDE равны диагонали АС и СЕ, AD и ВЕ, а также равны стороны ВС и CD. Докажите, что АВ = DE.

Для доказательства равенства сторон \(AB\) и \(DE\) в выпуклом пятиугольнике \(ABCDE\) при заданных условиях, рассмотрим следующее решение:

1. Условие:

   • Диагонали \(AC = CE\)

   • Диагонали \(AD = BE\)

   • Стороны \(BC = CD\)

2. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(EDC\):

   • Стороны \(BC = CD\) (по условию)

   • Стороны \(AC = CE\) (по условию)

   Если удастся доказать, что углы \(\angle BCA = \angle DCE\), то треугольники \(ABC\) и \(EDC\) будут равны по двум сторонам и углу между ними.

3. Рассмотрим треугольники \(ABE\) и \(EDA\):

   • Стороны \(AD = BE\) (по условию)

   • Общая сторона \(AE\)

   Для доказательства равенства треугольников \(ABE\) и \(EDA\) нужно доказать равенство углов \(\angle BAE = \angle EDA\) или равенство третьих сторон \(AB = DE\), что и требуется доказать.

4. Доказательство равенства углов \(\angle BAC\) и \(\angle DEC\):

   Рассмотрим углы \(\angle BCE\) и \(\angle DCA\). Если удастся доказать их равенство, то, учитывая, что \(\angle ACE\) общий для обоих, можно будет сделать вывод о равенстве углов \(\angle BCA\) и \(\angle DCE\).

5. Использование равенства диагоналей \(AD = BE\):

   Рассмотрим треугольники \(ADC\) и \(BEC\):

   • \(AC = CE\) (по условию)

   • \(BC = CD\) (по условию)

   • \(AD = BE\) (по условию)

   Следовательно, \(\triangle ADC = \triangle BEC\) по трем сторонам.

6. Вывод об углах:

   Из равенства треугольников \(\triangle ADC = \triangle BEC\) следует, что \(\angle DAC = \angle EBC\) и \(\angle ACD = \angle BCE\).

7. Равенство треугольников \(ABC\) и \(EDC\):

   Так как \(\angle ACD = \angle BCE\), то \(\angle BCA = \angle DCE\). Теперь у нас есть:

   • \(AC = CE\)

   • \(BC = CD\)

   • \(\angle BCA = \angle DCE\)

   Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle EDC\) по двум сторонам и углу между ними.

8. Окончательный вывод:

   Из равенства треугольников \(\triangle ABC = \triangle EDC\) следует, что \(AB = DE\).

Ответ: \(AB = DE\)