20. ☆ Противоположные углы четы- рёхугольника попарно равны. Докажи- те, что его противоположные стороны параллельны.

20. Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого $$\angle A = \angle C$$ и $$\angle B = \angle D$$. Нужно доказать, что AD || BC и AB || CD.

Решение:

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°: $$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$

Так как $$\angle A = \angle C$$ и $$\angle B = \angle D$$, то

$$2 \cdot \angle A + 2 \cdot \angle B = 360^\circ$$

$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$

Углы A и B являются внутренними односторонними углами при прямых AD и BC и секущей AB. Если сумма этих углов равна 180°, то прямые AD и BC параллельны: AD || BC.

Аналогично, $$\angle B + \angle C = 180^\circ$$. Углы B и C являются внутренними односторонними углами при прямых AB и CD и секущей BC. Если сумма этих углов равна 180°, то прямые AB и CD параллельны: AB || CD.

Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AD и BC, а также AB и CD параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что противоположные стороны четырехугольника параллельны.