9. ☆ Угол между боковыми сторона- ми равнобедренного треугольника ра- вен 100°. Какой угол образуют высота и биссектриса, выходящие из угла при основании этого треугольника?

Решение:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где угол A - вершина, а углы B и C - углы при основании. Угол A равен 100°.

2. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, сумма углов B и C равна: $$180° - 100° = 80°$$.

3. Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $$∠B = ∠C = \frac{80°}{2} = 40°$$.

4. Проведём высоту AH и биссектрису BL из угла B. Рассмотрим треугольник ABH. Угол BAH равен половине угла A, так как BL - биссектриса: $$∠ABL = \frac{40°}{2} = 20°$$.

5. Высота AH образует прямой угол с основанием BC: $$∠AHB = 90°$$.

6. Теперь найдём угол между высотой AH и биссектрисой BL. Это угол между BL и AH, обозначим его как угол α. В треугольнике BLH: $$∠BLH = 180° - (∠HBL + ∠BHL)$$.

7. Угол BHL равен 90°, а угол HBL равен углу ABL, то есть 20°:$$∠BLH = 180° - (20° + 90°) = 180° - 110° = 70°$$.

8. Теперь найдем угол между биссектрисой и высотой, он будет равен разнице между углом BLH и прямым углом, то есть $$90 - 70 = 20$$

Ответ: 20°