№ 3. Найдите косинус угла между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$, если A(6; -3), B(2; -1), C(1; 3).

Для решения задачи необходимо найти координаты векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$, а затем использовать формулу для нахождения косинуса угла между векторами.

Шаг 1: Найдем координаты вектора $$\vec{AB}$$.

Чтобы найти координаты вектора $$\vec{AB}$$, нужно из координат точки B вычесть координаты точки A:

$$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (2 - 6; -1 - (-3)) = (-4; 2)$$

Шаг 2: Найдем координаты вектора $$\vec{AC}$$.

Чтобы найти координаты вектора $$\vec{AC}$$, нужно из координат точки C вычесть координаты точки A:

$$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (1 - 6; 3 - (-3)) = (-5; 6)$$

Шаг 3: Найдем косинус угла между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$.

Косинус угла между двумя векторами $$\vec{a} = (x_1; y_1)$$ и $$\vec{b} = (x_2; y_2)$$ можно найти по формуле:

$$\cos(\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

В нашем случае:

$$\cos(\varphi) = \frac{(-4) \cdot (-5) + 2 \cdot 6}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + 6^2}} = \frac{20 + 12}{\sqrt{16 + 4} \cdot \sqrt{25 + 36}} = \frac{32}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{61}} = \frac{32}{\sqrt{1220}}$$

Упростим выражение:

$$\cos(\varphi) = \frac{32}{\sqrt{4 \cdot 305}} = \frac{32}{2 \sqrt{305}} = \frac{16}{\sqrt{305}}$$

Шаг 4: Запишем ответ.

Ответ: $$\frac{16}{\sqrt{305}}$$