№ 1. Пусть А=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\ 2 & 5 & -8\\ -3 & 6 & 9 \end{pmatrix} и В =\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}. Найти $$(А+2В)^2$$.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить матрицу 2B:
2. Вычислить сумму матриц A + 2B:
3. Вычислить квадрат матрицы (A + 2B):

1. Вычисление матрицы 2B:

Для этого умножим каждый элемент матрицы B на 2:

$$2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ 4 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 & -2\\ 2 & 0 & 4\\ 8 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$

2. Вычисление суммы матриц A + 2B:

Для этого сложим соответствующие элементы матриц A и 2B:

$$A + 2B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\ 2 & 5 & -8\\ -3 & 6 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 2 & -2\\ 2 & 0 & 4\\ 8 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 & 5\\ 4 & 5 & -4\\ 5 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$

3. Вычисление квадрата матрицы (A + 2B):

Для этого умножим матрицу (A + 2B) саму на себя:

$$(A + 2B)^2 = \begin{pmatrix} -3 & 6 & 5\\ 4 & 5 & -4\\ 5 & 4 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 6 & 5\\ 4 & 5 & -4\\ 5 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$

Выполним умножение матриц:

Элемент (1,1): (-3)*(-3) + 6*4 + 5*5 = 9 + 24 + 25 = 58

Элемент (1,2): (-3)*6 + 6*5 + 5*4 = -18 + 30 + 20 = 32

Элемент (1,3): (-3)*5 + 6*(-4) + 5*9 = -15 - 24 + 45 = 6

Элемент (2,1): 4*(-3) + 5*4 + (-4)*5 = -12 + 20 - 20 = -12

Элемент (2,2): 4*6 + 5*5 + (-4)*4 = 24 + 25 - 16 = 33

Элемент (2,3): 4*5 + 5*(-4) + (-4)*9 = 20 - 20 - 36 = -36

Элемент (3,1): 5*(-3) + 4*4 + 9*5 = -15 + 16 + 45 = 46

Элемент (3,2): 5*6 + 4*5 + 9*4 = 30 + 20 + 36 = 86

Элемент (3,3): 5*5 + 4*(-4) + 9*9 = 25 - 16 + 81 = 90

Таким образом, $$(A + 2B)^2 = \begin{pmatrix} 58 & 32 & 6\\ -12 & 33 & -36\\ 46 & 86 & 90 \end{pmatrix}$$

Ответ: $$\begin{pmatrix} 58 & 32 & 6\\ -12 & 33 & -36\\ 46 & 86 & 90 \end{pmatrix}$$