№ 1. Точка А — середина отрезка МК. Найдите координаты точки А и длину отрезка МК, если М (5; -2; 1), Κ (3; 4; -3). №2. Даны векторы а(2; -6; 8) и в(-1; к; -4). При каком значении к векторы а и в: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны? №3. Даны векторы а (3;-2;-1) и в(1; 2; 4). Найдите: 1) координаты вектора с=3а-2в;2) косинус угла между векторами а и в.

Это задание по геометрии, включающее в себя нахождение координат середины отрезка, длины отрезка, условия коллинеарности и перпендикулярности векторов, а также нахождение координат вектора и косинуса угла между векторами.

№1.

Пусть точка A - середина отрезка MK. Координаты точки A находятся как среднее арифметическое координат точек M и K:

$$A = \left(\frac{x_M + x_K}{2}, \frac{y_M + y_K}{2}, \frac{z_M + z_K}{2}\right)$$ $$A = \left(\frac{5 + 3}{2}, \frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + (-3)}{2}\right)$$ $$A = (4, 1, -1)$$

Длина отрезка MK находится по формуле:

$$|MK| = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2 + (z_K - z_M)^2}$$ $$|MK| = \sqrt{(3 - 5)^2 + (4 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2}$$ $$|MK| = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2 + (-4)^2}$$ $$|MK| = \sqrt{4 + 36 + 16}$$ $$|MK| = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$$

№2.

Векторы \(\vec{a}(2; -6; 8)\) и \(\vec{b}(-1; k; -4)\).

1) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

$$\frac{2}{-1} = \frac{-6}{k} = \frac{8}{-4}$$

Из первого и третьего отношения:

$$\frac{2}{-1} = \frac{8}{-4} = -2$$

Тогда:

$$\frac{-6}{k} = -2$$ $$k = \frac{-6}{-2} = 3$$

2) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1) + (-6) \cdot k + 8 \cdot (-4) = 0$$ $$-2 - 6k - 32 = 0$$ $$-6k = 34$$ $$k = -\frac{34}{6} = -\frac{17}{3}$$

№3.

Даны векторы \(\vec{a}(3; -2; -1)\) и \(\vec{b}(1; 2; 4)\).

1) Найдем координаты вектора \(\vec{c} = 3\vec{a} - 2\vec{b}\):

$$\vec{c} = 3(3; -2; -1) - 2(1; 2; 4) = (9; -6; -3) - (2; 4; 8) = (9-2; -6-4; -3-8) = (7; -10; -11)$$

2) Найдем косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 3 - 4 - 4 = -5$$ $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$$ $$\cos(\alpha) = \frac{-5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-5}{\sqrt{294}} = \frac{-5}{7\sqrt{6}} = -\frac{5\sqrt{6}}{42}$$