№ 2. В параллелограмме ABCD угол А равен 60°, АВ = 4√3, BD = 12. Найдите угол, который образует диагональ BD со стороной AD.

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о свойствах параллелограммов и теорема косинусов. 1. Обозначим угол между диагональю BD и стороной AD как $$\angle ADB = \alpha$$. 2. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $$\angle C = \angle A = 60^{\circ}$$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $$180^{\circ}$$, следовательно, $$\angle B = \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$. 3. Рассмотрим треугольник ABD. Известны стороны $$AB = 4\sqrt{3}$$, $$BD = 12$$ и угол $$\angle A = 60^{\circ}$$. Применим теорему косинусов, чтобы найти сторону AD: $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$$ 4. Подставим известные значения: $$12^2 = (4\sqrt{3})^2 + AD^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot AD \cdot \cos 60^{\circ}$$ $$144 = 48 + AD^2 - 8\sqrt{3} \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$$ $$AD^2 - 4\sqrt{3} \cdot AD - 96 = 0$$ 5. Решим квадратное уравнение относительно AD. Дискриминант: $$D = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 48 + 384 = 432$$ $$AD_{1,2} = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{432}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \pm 12\sqrt{3}}{2}$$ Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем положительное значение: $$AD = \frac{4\sqrt{3} + 12\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$ 6. Теперь, когда известны все три стороны треугольника ABD, можно применить теорему косинусов для угла $$\alpha = \angle ADB$$: $$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \alpha$$ $$(4\sqrt{3})^2 = (8\sqrt{3})^2 + 12^2 - 2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 12 \cdot \cos \alpha$$ $$48 = 192 + 144 - 192\sqrt{3} \cdot \cos \alpha$$ $$192\sqrt{3} \cdot \cos \alpha = 288$$ $$\cos \alpha = \frac{288}{192\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 7. Следовательно, $$\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^{\circ}$$. Ответ: Угол, который образует диагональ BD со стороной AD, равен $$\bf{30^{\circ}}$$.