№ 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высота BH равна 12. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 15.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высота BH равна 12, и AB = 15. Нужно найти площадь треугольника ABC.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем AH: \[AH^2 = AB^2 - BH^2\] \[AH^2 = 15^2 - 12^2\] \[AH^2 = 225 - 144\] \[AH^2 = 81\] \[AH = \sqrt{81} = 9\]
2. Так как BH - высота в равнобедренном треугольнике, она также является медианой. Следовательно, AH = HC. Значит, AC = 2 * AH = 2 * 9 = 18.
3. Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12\] \[S = 9 \cdot 12\] \[S = 108\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 108.

Ответ: 108

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно нашёл AH по теореме Пифагора и использовал его для вычисления AC, а затем применил формулу площади треугольника.

Доп. профит: Редфлаг. Всегда проверяй, является ли высота в равнобедренном треугольнике также медианой. Это упрощает решение задачи.