№ 5. В треугольнике АВС известно, что ∠B=90°, ∠ACB=60°, отрезок CD- биссектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD=5 см.

Ответ: AB = 5√3 см

Решение:

1. В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠ACB = 60°. Следовательно, ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. CD - биссектриса угла C, поэтому ∠ACD = ∠DCB = 60° / 2 = 30°.
3. Рассмотрим треугольник BCD. ∠DCB = 30°, ∠DBC = 90°. Следовательно, ∠BDC = 180° - 90° - 30° = 60°.
4. В треугольнике BCD:
5. \(\tan(\angle DCB) = \frac{BD}{BC}\)
6. \(\tan(30^\circ) = \frac{5}{BC}\)
7. \(BC = \frac{5}{\tan(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3}\)
8. В треугольнике ABC:
9. \(\tan(\angle A) = \frac{BC}{AB}\)
10. \(\tan(30^\circ) = \frac{5\sqrt{3}}{AB}\)
11. \(AB = \frac{5\sqrt{3}}{\tan(30^\circ)} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15\)

Ответ: 15 см