№ 5. В треугольнике DAB известно, что A=90°, D=30°, отрезок ВТ- биссектриса треугольника. Найдите катет DA, если DT=8 см.

В треугольнике DAB, угол A = 90°, угол D = 30°, тогда угол B = 180° - 90° - 30° = 60°. Так как BT - биссектриса угла B, то угол DBT = углу TBA = 60°/2 = 30°. Рассмотрим треугольник DBT. В нём угол D = 30° и угол DBT = 30°, следовательно, треугольник DBT равнобедренный, и BT = DT = 8 см. Рассмотрим треугольник ABT. В нём угол A = 90°, угол TBA = 30°, следовательно, AT = BT * cos(30°) = 8 * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 4\(\sqrt{3}\). Рассмотрим треугольник DAB, где угол A = 90°. Тогда \(tg(30^o) = \frac{AB}{AD}\). Отсюда \(AD = \frac{AB}{tg(30^o)}\). АВ можно найти из треугольника ABT, где \(tg(30^o) = \frac{AT}{AB}\). Отсюда \(AB = \frac{AT}{tg(30^o)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3} * \sqrt{3} = 12\). Подставляем в формулу для AD: \(AD = \frac{12}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 12\sqrt{3}\) Ответ: Катет DA = 12\(\sqrt{3}\) см.