№ 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, ∠M=60°, отрезок AD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см,

Дано: треугольник MNF, ∠N = 90°, ∠M = 60°, AD - биссектриса, FD = 20 см. Найти: MN. Решение: 1. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠F = 180° - ∠N - ∠M = 180° - 90° - 60° = 30°. 2. AD - биссектриса, следовательно, ∠MAD = ∠FAD = ∠M / 2 = 60° / 2 = 30°. 3. Рассмотрим треугольник ADF. В нем ∠F = 30°, ∠FAD = 30°, значит, треугольник ADF равнобедренный, и AD = FD = 20 см. 4. Рассмотрим треугольник AND. В нем ∠AND = 90°, ∠NAD = 30°. Следовательно, AN = AD * cos(30°) = 20 * (√3 / 2) = 10√3 см. 5. В треугольнике AMN, ∠N = 90°, ∠M = 60°. Следовательно, MN = AM * sin(60°). AM=AD=20, тогда NM = AD * sin(60°) = 20 * (√3 / 2) = 10 * √3 = 10√3 см. 6. Поскольку AD - биссектриса, то угол NAD = MAD = 30°. Угол AND = 90°. В прямоугольном треугольнике AND против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. ND = 1/2 * AD = 1/2 * 20 = 10 см. 7. Тангенс угла M = NF/MN, значит NF = MN * tg(60°) = 10√3 * √3 = 30 см 8. FN = FD + DN, 30 = 20+ DN. Значит DN = 10 см 9. Так как ∠M=60, а угол MAD=30, то AM = AD. Значит треуг. AMD - равнобедренный. 10. Так как MN = AD * sin(60°) = 20 * √3 /2 = 10√3 Ответ: MN = 10√3 см.