№ 5. В треугольнике MNF известно, что N=90°, M=60°, отрезок AD- биссектриса треугольника. Найдите катет М№, если FD=20 см.

Ответ: MN = 10√3 см

1. Определим угол F треугольника MNF: \(\angle F = 180^\circ - \angle N - \angle M = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\)
2. Т.к. AD - биссектриса, то угол MNA равен половине угла M, т.е. \( \angle MNA = 30^\circ\). Значит, углы FAN и ADN равны.
3. Рассмотрим треугольник MNF. Катет MN, противолежащий углу F, равен половине гипотенузы MF (против угла в 30°). Тогда \(MF = 2MN\).
4. По теореме Пифагора \(MN^2 + NF^2 = MF^2\), т.е. \(MN^2 + NF^2 = (2MN)^2\). Получаем \(3MN^2 = NF^2\), откуда \(NF = MN\sqrt{3}\).
5. Применим теорему о биссектрисе: биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Значит, \(\frac{MD}{DF} = \frac{MN}{NF}\), или \(\frac{MD}{20} = \frac{MN}{MN\sqrt{3}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) Отсюда \(MD = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\)
6. Рассмотрим треугольник DNF. Угол \(NDF = 60^\circ\), а угол F = 30°, следовательно, \(NF = 2ND\) (против угла в 30°). По теореме Пифагора: \(NF^2 = ND^2 + DF^2\).
7. \(NF^2 = 4ND^2 = ND^2 + 20^2\), откуда \(3ND^2 = 400\) и \(ND = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\).
8. Выразим \(NF = 2ND = \frac{40\sqrt{3}}{3}\)
9. \(NF = MN\sqrt{3}\), тогда \(\frac{40\sqrt{3}}{3} = MN\sqrt{3}\). Откуда \(MN = \frac{40}{3}\)
10. Т.к. MF = 2MN, угол M = 60°, значит треугольник MNF - равносторонний и \(ND = MD = \frac{1}{2} MN\), MN = 2ND
11. MN - противолежит углу F=30°, тогда применим тангенс угла \(tg30 = \frac{MN}{NF}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), отсюда MN = 10\(\sqrt{3}\)

Ответ: MN = 10√3 см