№ 2. Дан треугольник ABC, точки A(-5;4), B(4;-1), C(2;3), точка E - середина AB, точка T - середина BC. Найдите: a) координаты точек E и T; б) длину медианы EC и TB; в) длину средней линии ET; г) длины сторон треугольника ABC; д) Периметр треугольника CET.

Решение: а) Координаты середины отрезка находятся как полусумма координат концов отрезка. * Координаты точки E (середины AB): $$E_x = \frac{A_x + B_x}{2} = \frac{-5 + 4}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$$ $$E_y = \frac{A_y + B_y}{2} = \frac{4 + (-1)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$ Следовательно, E(-0.5; 1.5) * Координаты точки T (середины BC): $$T_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$T_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Следовательно, T(3; 1) б) Длина медианы находится как расстояние между двумя точками. Расстояние d между точками $$(x_1, y_1)$$ и $$(x_2, y_2)$$ вычисляется по формуле: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ * Длина медианы EC: $$EC = \sqrt{(2 - (-0.5))^2 + (3 - 1.5)^2} = \sqrt{(2.5)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{6.25 + 2.25} = \sqrt{8.5} \approx 2.92$$ * Длина медианы TB: $$TB = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.24$$ в) Длина средней линии ET: $$ET = \sqrt{(3 - (-0.5))^2 + (1 - 1.5)^2} = \sqrt{(3.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{12.25 + 0.25} = \sqrt{12.5} \approx 3.54$$ г) Длины сторон треугольника ABC: * Длина стороны AB: $$AB = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(9)^2 + (-5)^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106} \approx 10.30$$ * Длина стороны BC: $$BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.47$$ * Длина стороны AC: $$AC = \sqrt{(2 - (-5))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \approx 7.07$$ д) Периметр треугольника CET: * Координаты точки E: (-0.5; 1.5) * Координаты точки T: (3; 1) * Координаты точки C: (2; 3) * Длина стороны CE (уже вычислена в пункте б): $$CE = \sqrt{8.5} \approx 2.92$$ * Длина стороны ET (уже вычислена в пункте в): $$ET = \sqrt{12.5} \approx 3.54$$ * Длина стороны CT: $$CT = \sqrt{(2 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.24$$ * Периметр треугольника CET: $$P = CE + ET + CT = \sqrt{8.5} + \sqrt{12.5} + \sqrt{5} \approx 2.92 + 3.54 + 2.24 = 8.70$$ Ответ: а) E(-0.5; 1.5), T(3; 1) б) EC ≈ 2.92, TB ≈ 2.24 в) ET ≈ 3.54 г) AB ≈ 10.30, BC ≈ 4.47, AC ≈ 7.07 д) P ≈ 8.70