5.476

Необходимо доказать равенство: \[\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 15} = \frac{2}{15}\] Заметим, что каждый член суммы можно представить в виде: \[\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)\] Тогда: \[\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)\] \[\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right)\] И так далее. Сумма будет равна: \[\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right)\] \[= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{15} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{15} - \frac{1}{15} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{15}\] Что и требовалось доказать.