№15. (А). В треугольнике АВС точка М- середина АВ. На стороне ВС взята точка К, такая, что ∠A=∠ВМК. Найдите ВК и МК, если АС=10см, а КС-4см. №16. (А). На боковой стороне АВ трапеции АВСД взяты точки М и К такие, что АМ=МК-КВ, а на стороне СД точки Н и Р, такие, что CH=HP=РД. Найдите длину КН и длину АД, если ВС=1см, а МР-5см. №17. (В). Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. №18. (В). Докажите, что средняя линия равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями равна её высоте.

Решение: №15. (А). В треугольнике ABC точка M — середина AB. На стороне BC взята точка K, такая, что ∠A = ∠BMK. Найдите BK и MK, если AC = 10 см, KC = 4 см. К сожалению, для решения данной задачи недостаточно информации. Необходимо больше данных о треугольнике ABC или соотношениях между его сторонами и углами. №16. (А). На боковой стороне AB трапеции ABCD взяты точки M и K такие, что AM = MK = KB, а на стороне CD точки H и P, такие, что CH = HP = РД. Найдите длину KH и длину АД, если ВС = 1 см, а МР = 5 см. К сожалению, для решения данной задачи недостаточно информации. Необходимо больше данных о трапеции ABCD или соотношениях между ее сторонами и углами. №17. (В). Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Доказательство: Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD. Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Нужно доказать, что MNPQ — параллелограмм. Рассмотрим треугольник ABC. MN — средняя линия этого треугольника, следовательно, MN || AC и MN = 1/2 AC. Рассмотрим треугольник ADC. QP — средняя линия этого треугольника, следовательно, QP || AC и QP = 1/2 AC. Таким образом, MN || QP и MN = QP, что означает, что MNPQ — параллелограмм, так как две его противоположные стороны параллельны и равны. №18. (В). Докажите, что средняя линия равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями равна её высоте. Доказательство: Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD, и диагонали AC и BD перпендикулярны. Пусть M и N — середины боковых сторон AD и BC соответственно. Средняя линия MN равна полусумме оснований, то есть MN = (AB + CD) / 2. Нужно доказать, что MN = h, где h — высота трапеции. Проведем высоты BE и CF из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, AE = FD. Тогда AD = AE + EF + FD = 2AE + AB. Также CD = AB. Треугольники BEC и AFD равны. Так как диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований, то есть h = (AB + CD) / 2. Следовательно, MN = h.