№ 7 AC= ? BK = 6 ∠C = 45° SABC = ?

Рассмотрим треугольник AKC. Он прямоугольный, так как BK - высота. Угол C = 45°, следовательно, угол CAK = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник AKC равнобедренный, и AK = KC.

Рассмотрим треугольник ABK. Он прямоугольный, BK = 6. Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$tg A = \frac{BK}{AK}$$. Так как угол A = 45°, то $$tg 45° = 1$$, следовательно, AK = BK = 6.

Тогда KC = AK = 6.

AC можно найти по теореме Пифагора для треугольника AKC: $$AC^2 = AK^2 + KC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$$. Следовательно, $$AC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 = 18\sqrt{2}$$.

Ответ: $$AC = 6\sqrt{2}$$, $$S_{ABC} = 18\sqrt{2}$$