№7*. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 3, AD = 5, AC = 24. Найдите AO.

Рассмотрим трапецию ABCD, где BC и AD - основания. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (вертикальные углы при точке O и накрест лежащие углы при параллельных основаниях BC и AD и секущих AC и BD). Следовательно, имеем пропорцию: $$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}$$ Из условия задачи известно, что BC = 3, AD = 5 и AC = 24. Обозначим AO как x, тогда CO = AC - AO = 24 - x. Подставим известные значения в пропорцию: $$\frac{24 - x}{x} = \frac{3}{5}$$ Решим уравнение для x: $$5(24 - x) = 3x$$ $$120 - 5x = 3x$$ $$120 = 8x$$ $$x = \frac{120}{8} = 15$$ Таким образом, AO = 15. Ответ: 15