Доказательство свойств равнобедренной трапеции

a) Углы при основаниях равны

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD. Требуется доказать, что ∠A = ∠D и ∠B = ∠C.

1. Проведём высоты BH и CF из вершин B и C на основание AD.
2. Рассмотрим треугольники ABH и DCF. У них:
• AB = CD (по условию, трапеция равнобедренная)
• BH = CF (высоты трапеции)
• ∠AHB = ∠DFC = 90° (BH и CF - высоты)
3. Следовательно, треугольники ABH и DCF равны по гипотенузе и катету.
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A = ∠D.
5. Так как ABCD - трапеция, то AD || BC. Значит, ∠A + ∠B = 180° и ∠D + ∠C = 180° (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей).
6. Поскольку ∠A = ∠D, то ∠B = ∠C.

Вывод: В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

б) Диагонали равны

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD. Требуется доказать, что AC = BD.

1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них:
• AB = DC (по условию, трапеция равнобедренная)
• AD - общая сторона
• ∠A = ∠D (доказано в пункте а)
2. Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC = BD.

Вывод: В равнобедренной трапеции диагонали равны.