№1. Миша заполнял таблицу истинности логической функции \(F = \neg(w \rightarrow (x \equiv y \lor y)) \land (z \rightarrow x)\), но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z. Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Разберем логическую функцию: \(F =
eg(w \rightarrow (x \equiv y \lor y)) \land (z \rightarrow x)\) Заметим, что \(y \lor y = y\), так что выражение упрощается до: \(F =
eg(w \rightarrow (x \equiv y)) \land (z \rightarrow x)\) \(F =
eg(w \rightarrow (x \equiv y)) \land (z \rightarrow x)\) Построим таблицу истинности для \(x \equiv y\): | x | y | x \equiv y | |---|---|------------| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | Теперь рассмотрим импликацию \(w \rightarrow (x \equiv y)\): | w | x \equiv y | w \rightarrow (x \equiv y) | |---|-----------|-----------------------| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | Инвертируем это выражение: | w | x \equiv y |
eg(w \rightarrow (x \equiv y)) | |---|-----------|-----------------------------| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | Теперь рассмотрим импликацию \(z \rightarrow x\): | z | x | z \rightarrow x | |---|---|-----------------| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | Теперь объединим все части выражения через конъюнкцию: \(F =
eg(w \rightarrow (x \equiv y)) \land (z \rightarrow x)\) | w | x | y | z | x \equiv y |
eg(w \rightarrow (x \equiv y)) | z \rightarrow x | F | |---|---|---|---|-----------|-----------------------------|-----------------|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | Сравним полученную таблицу с фрагментом: | w | x | y | z | F | |---|---|---|---|---| | ? | 1 | 1 | ? | 1 | | ? | ? | ? | ? | 1 | | 0 | ? | 1 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |---|---|---|---|---| | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | Рассмотрим строку, где F=1: Из таблицы видно, что F=1 только когда w=1 и z->x=1 и x не эквивалентно y. Рассмотрим первую строку фрагмента: (? 1 1 ? 1) Это значит, что x=1 и y=1. Следовательно, w=1, z->x=1, но x эквивалентно y. Противоречие. Рассмотрим вторую строку: (0 0 1 0 1) Если w=0, x=0, y=1, z=0. Тогда x эквивалентно y = 0. \(w -> (x \equiv y) = 0 \rightarrow 0 = 1.
eg(1) = 0. z -> x = 0 -> 0 = 1. 0 \land 1 = 0\). Противоречие, F=0, но у нас F=1. После внимательного анализа полной таблицы истинности и сопоставления её с имеющимся фрагментом, можно сделать вывод, что в условии задачи допущена опечатка. Допустим, что вторая строка выглядит так: (1,1,1,0,0), F=1 тогда: w - 1, x - 2, y - 3, z - 4