№2 Найти угол между касательными, если даны длины отрезков 4.5 и 9.

Пусть угол между касательными равен \(\alpha\). Рассмотрим четырехугольник, образованный двумя касательными и двумя радиусами, проведенными в точки касания. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому углы между радиусами и касательными равны 90 градусам. Пусть O - центр окружности, A - точка пересечения касательных, B и C - точки касания. Тогда \(\angle OBC = 90^\circ\) и \(\angle OCB = 90^\circ\). Мы знаем, что \(OB = 4.5\) и \(AB = 9\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OBA\). В этом треугольнике \(\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{OB}{OA}\), где \(OA = OB + AB = 4.5 + 9 = 13.5\). Тогда \(\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{4.5}{13.5} = \frac{1}{3}\). Значит, \(\frac{\alpha}{2} = \arcsin(\frac{1}{3})\) и \(\alpha = 2 \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 38.94^\circ \approx 39^\circ\). Ответ: Угол между касательными приблизительно равен 39°.