№6. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3 . Найдите катет, противолежащий острому углу, равному 30°.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна $$S = \frac{1}{2}ab$$.

Пусть угол $$A = 30^\circ$$. Тогда $$a$$ - катет, противолежащий углу $$A$$.

Известно, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $$\sin{A} = \frac{a}{c}$$, где $$c$$ - гипотенуза.

Так как $$A = 30^\circ$$, то $$\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$$. Следовательно, $$\frac{a}{c} = \frac{1}{2}$$, откуда $$c = 2a$$.

Применим теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$. Подставим $$c = 2a$$: $$a^2 + b^2 = (2a)^2$$, $$a^2 + b^2 = 4a^2$$, $$b^2 = 3a^2$$, $$b = a\sqrt{3}$$.

Площадь: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$. По условию $$S = 32\sqrt{3}$$.

Тогда $$\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$$. Домножим обе части уравнения на $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$: $$a^2 = 64$$, $$a = 8$$.

Ответ: 8