№6. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Найдите катет, противолежащий острому углу, равному 30°.

Пусть один катет равен a, а другой b, причем угол между катетом a и гипотенузой равен 30°. Тогда $$b = a \cdot tg(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2} a b$$.

Подставим значение b: $$S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{6}$$

$$S = 32\sqrt{3}$$.

Тогда $$\frac{a^2 \sqrt{3}}{6} = 32\sqrt{3}$$.

$$a^2 = 32 \cdot 6$$

$$a^2 = 192$$

$$a = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$$

Катет, противолежащий углу 30° равен: $$b = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8 \cdot 3}{3} = 8$$.

Ответ: 8