№3. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Рассмотрим ромб ABCD, где ∠B = 60°. Проведём высоту BH из вершины B к стороне AD. Поскольку ∠B = 60°, то ∠A = 180° - 60° = 120°. Треугольник ABH - прямоугольный, где ∠BAH = 120° - 90° = 30°. Значит, BH - катет, лежащий напротив угла 30°, и равен половине гипотенузы AB. $$BH = rac{AB}{2} = rac{34}{2} = 17$$ Теперь найдём AH, используя теорему Пифагора для треугольника ABH: $$AH^2 + BH^2 = AB^2$$ $$AH^2 + 17^2 = 34^2$$ $$AH^2 + 289 = 1156$$ $$AH^2 = 1156 - 289 = 867$$ $$AH = sqrt{867} = 17sqrt{3}$$ Тогда HD = AD - AH = 34 - $$17sqrt{3}$$. Таким образом, длины отрезков равны $$17sqrt{3}$$ и $$34 - 17sqrt{3}$$. Ответ: $$17sqrt{3}$$ и $$34 - 17sqrt{3}$$