№ 4.В ромбе ABCD диагонали равны 5 и 12. На диагонали АС взята точка М так, что АМ : MC = 4 : 1. Найдите площадь треугольника AMD. Рассмотрите все случаи.

Ответ: 6 или 24

1. Площадь ромба ABCD: Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Пусть диагонали AC = 12 и BD = 5. Тогда площадь ромба равна: \[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30\]
2. Рассмотрим треугольник ADC, площадь которого равна половине площади ромба: \[S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\]
3. Высота DH в треугольнике ADC: \[DH = \frac{2 S_{ADC}}{AC} = \frac{2 \cdot 15}{12} = \frac{30}{12} = 2.5\]
4. Рассмотрим треугольники AMD и MDC. Т.к. AM : MC = 4 : 1, то AC состоит из 5 частей, где AM составляет 4 части, MC – 1 часть.
5. Площадь треугольника AMD: \[S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}AC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot 12 \cdot 2.5 = 12\]

Ответ: 12