№5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, <M=30°, отрезок FD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см.

Ответ: 10 см

Т.к. \( \angle N=90^{\circ}, \angle M=30^{\circ} \), то \( \angle F=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ} \).

Т.к. FD - биссектриса, то \( \angle MFD = \angle NFD = \frac{1}{2} \angle F = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник NFD. В этом треугольнике \( \angle N = 90^{\circ}, \angle NFD = 30^{\circ} \). Значит, катет ND равен половине гипотенузы FD. Т.к. FD = 20 см, то ND = 10 см.

Рассмотрим треугольники MFD и NFD. В этих треугольниках FD - общая сторона, \( \angle MFD = \angle NFD = 30^{\circ} \), \( \angle FMD = \angle FND = 90^{\circ} \). Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, MN = ND = 10 см.

Ответ: 10 см