016.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0,5$ на промежутке: а) $\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$; б) $\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$; в) $[0;\pi)$; г) $\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 016.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0,5$ на промежутке: а)…$ Фото задания

016.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0,5$ на промежутке: а) $\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$; б) $\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$; в) $[0;\pi)$; г) $\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$.

Accepted Answer

Положим $t=x-\frac{\pi}{4}$. Тогда $y=\sin t+0,5$.

а) При $x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$ имеем $t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$. На этом отрезке синус возрастает от 0 до 1. Следовательно, $y_{\min}=0,5$, $y_{\max}=1,5$.

б) При $x\in\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$ имеем $t\in\left(\frac{\pi}{2};2\pi\right)$. На промежутке достигается минимум $\sin t=-1$ при $t=\frac{3\pi}{2}$, а верхняя грань 1 достигается только на исключённой границе $t=\frac{\pi}{2}$. Поэтому наименьшее значение равно $-0,5$, но наибольшего значения нет (верхняя грань равна $1,5$).

в) При $x\in[0;\pi)$ имеем $t\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right)$. Наименьшее значение синуса на этом промежутке равно $-\frac{\sqrt2}{2}$ при $t=-\frac{\pi}{4}$, наибольшее — 1 при $t=\frac{\pi}{2}$. Значит, $y_{\min}=\frac{1-\sqrt2}{2}$, $y_{\max}=1,5$.

г) При $x\ge\frac{\pi}{4}$ аргумент $t$ принимает все значения от 0 до $+\infty$. Синус принимает значения от −1 до 1, и обе границы достигаются. Поэтому $y_{\min}=-0,5$, $y_{\max}=1,5$.

Ответ: а) 0,5 и 1,5; б) −0,5, наибольшего значения нет (супремум 1,5); в) $\frac{1-\sqrt2}{2}$ и 1,5; г) −0,5 и 1,5.