06 Вычислите:

Решение:

а) \( 18 \cdot \left( \frac{1}{9} \right)^2 - 20 \cdot \frac{1}{9} \)

1. Возведём дробь в квадрат: \( \left( \frac{1}{9} \right)^2 = \frac{1^2}{9^2} = \frac{1}{81} \)
2. Вычислим первое произведение: \( 18 \cdot \frac{1}{81} = \frac{18}{81} \). Сократим дробь на 9: \( \frac{18 \div 9}{81 \div 9} = \frac{2}{9} \).
3. Вычислим второе произведение: \( 20 \cdot \frac{1}{9} = \frac{20}{9} \).
4. Выполним вычитание: \( \frac{2}{9} - \frac{20}{9} = \frac{2 - 20}{9} = \frac{-18}{9} = -2 \).

б) \( \left( \frac{19}{8} + \frac{11}{12} \right) : \frac{5}{48} \)

1. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 равен 24.
2. \( \frac{19}{8} = \frac{19 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{57}{24} \)
3. \( \frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{22}{24} \)
4. Сложим дроби в скобках: \( \frac{57}{24} + \frac{22}{24} = \frac{57 + 22}{24} = \frac{79}{24} \).
5. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \( \frac{79}{24} : \frac{5}{48} = \frac{79}{24} \cdot \frac{48}{5} \).
6. Сократим 24 и 48: \( \frac{79}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{79 \cdot 2}{5} = \frac{158}{5} \).
7. Переведём в смешанную дробь: \( \frac{158}{5} = 31 \frac{3}{5} \).

в) \( \left( 2 \frac{3}{4} + 2 \frac{1}{5} \right) \cdot 16 \)

1. Приведём смешанные числа к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 равен 20.
2. \( 2 \frac{3}{4} = 2 \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 2 \frac{15}{20} \)
3. \( 2 \frac{1}{5} = 2 \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = 2 \frac{4}{20} \)
4. Сложим смешанные числа: \( 2 \frac{15}{20} + 2 \frac{4}{20} = (2+2) + \left( \frac{15}{20} + \frac{4}{20} \right) = 4 \frac{19}{20} \).
5. Переведём смешанное число в неправильную дробь: \( 4 \frac{19}{20} = \frac{4 \cdot 20 + 19}{20} = \frac{80 + 19}{20} = \frac{99}{20} \).
6. Умножим дробь на 16: \( \frac{99}{20} \cdot 16 \). Сократим 20 и 16 на 4: \( \frac{99}{5} \cdot 4 = \frac{99 \cdot 4}{5} = \frac{396}{5} \).
7. Переведём в смешанную дробь: \( \frac{396}{5} = 79 \frac{1}{5} \).

Ответ: а) -2; б) \( 31 \frac{3}{5} \); в) \( 79 \frac{1}{5} \).