1.1. Угол BAC треугольника ABC равен 15°. Можно ли однозначно найти сторону AC, если: а) AB = 3, BC = 4; б) AB = 4, BC = 3?

Обозначим AC = x. По теореме косинусов для угла A:

BC² = AB² + x² − 2 · AB · x · cos 15°.

а) AB = 3, BC = 4:

x² − 6x cos 15° − 7 = 0.

У этого уравнения только один положительный корень: \(x=3\cos 15^\circ+\sqrt{16-9\sin^2 15^\circ}\approx 6.82\). Второй корень отрицательный, поэтому длина AC определяется однозначно.

б) AB = 4, BC = 3:

x² − 8x cos 15° + 7 = 0.

Оба корня положительны: \(x=4\cos 15^\circ\pm\sqrt{9-16\sin^2 15^\circ}\). Получаются две возможные длины: примерно 6.86 и 1.07. Поэтому однозначно найти AC нельзя.

Ответ: а) можно; б) нельзя — возможны две длины AC.