1.10. z = 3x^7y - 6√(xy^3)

Решение:

Найти частные производные 1-го порядка.

Перепишем выражение для удобства дифференцирования:

\( z = 3x^7y - 6 \sqrt{x} y^{3/2} \)

Частная производная по x (∂z/∂x):

Дифференцируем z по x, считая y постоянной:

\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^7y) - \frac{\partial}{\partial x} (6x^{1/2}y^{3/2}) \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = 3y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^7) - 6y^{3/2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{1/2}) \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = 3y \cdot (7x^6) - 6y^{3/2} \cdot (\frac{1}{2}x^{-1/2}) \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = 21x^6 y - 3 \frac{y^{3/2}}{\sqrt{x}} \)

Частная производная по y (∂z/∂y):

Дифференцируем z по y, считая x постоянной:

\( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^7y) - \frac{\partial}{\partial y} (6x^{1/2}y^{3/2}) \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = 3x^7 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) - 6x^{1/2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^{3/2}) \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = 3x^7 \cdot 1 - 6x^{1/2} \cdot (\frac{3}{2}y^{1/2}) \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = 3x^7 - 9 \sqrt{x} \sqrt{y} \)

Ответ: \( \frac{\partial z}{\partial x} = 21x^6 y - 3 \frac{y^{3/2}}{\sqrt{x}} \), \( \frac{\partial z}{\partial y} = 3x^7 - 9 \sqrt{xy} \).