1.12. u = z/y^2 + x^2/z

Решение:

Найти частные производные 1-го порядка.

Частная производная по x (∂u/∂x):

Дифференцируем u по x, считая y и z постоянными:

\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{z}{y^2} + \frac{x^2}{z}) \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{z}{y^2}) + \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x^2}{z}) \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = 0 + \frac{1}{z} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2) \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{z} \cdot (2x) \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{z} \)

Частная производная по y (∂u/∂y):

Дифференцируем u по y, считая x и z постоянными:

\( \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{z}{y^2} + \frac{x^2}{z}) \)

\( \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(z y^{-2}) + \frac{\partial}{\partial y}(\frac{x^2}{z}) \)

\( \frac{\partial u}{\partial y} = z \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^{-2}) + 0 \)

\( \frac{\partial u}{\partial y} = z \cdot (-2y^{-3}) \)

\( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{2z}{y^3} \)

Частная производная по z (∂u/∂z):

Дифференцируем u по z, считая x и y постоянными:

\( \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (\frac{z}{y^2} + \frac{x^2}{z}) \)

\( \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z) + x^2 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^{-1}) \)

\( \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{y^2} \cdot 1 + x^2 \cdot (-z^{-2}) \)

\( \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{y^2} - \frac{x^2}{z^2} \)

Ответ: \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{z} \), \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{2z}{y^3} \), \( \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{y^2} - \frac{x^2}{z^2} \).