1.3. в) Прямоугольный параллелепипед с ребрами 54, 24 и 42 требуется сложить из равных кубов. Найдите наибольший возможный объем одного такого куба, если известно, что длина его ребра - целое число.

Решение:

Чтобы сложить прямоугольный параллелепипед из равных кубов без остатка, длина ребра куба должна быть общим делителем всех измерений параллелепипеда (54, 24, 42). Чтобы объём одного куба был наибольшим, длина его ребра должна быть наибольшей. Следовательно, нам нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 54, 24 и 42.

1. Разложим числа на простые множители:

\( 54 = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 \)

\( 24 = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 \)

\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)

2. Найдём НОД:

Общие простые множители — 2 и 3. Наименьшие степени этих множителей:

\( \text{НОД}(54, 24, 42) = 2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6 \).

Длина ребра наибольшего возможного куба равна 6.

3. Вычислим объём куба:

Объём куба равен \( a^3 \), где \( a \) — длина ребра.

\( V = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216 \).

Ответ: Наибольший возможный объём одного такого куба равен 216.