1.50². По графику a_x(t) (см. рисунок) постройте графики v_x(t), x(t) и s(t), если начальные условия следующие: а) x(0)=0, v_x(0)=0; б) x(0)=x₀, v_x(0)=0; в) x(0)=0, v_x(0)=v₀>0; г) x(0)=0, v_x(0)=−v₀<0.

Обозначим моменты перехода между участками графика через \(t_1,t_2,t_3\), а постоянные ускорения — через \(a_1>0\) и \(a_2<0\), как на рисунке. На участке \(0\le t\le t_1\) ускорение равно \(a_1\), на \(t_1\le t\le t_2\) равно нулю, на \(t_2\le t\le t_3\) равно \(a_2\). После \(t_3\) график исходного ускорения не задан.

Сначала найдём общие зависимости, после чего применим указанные начальные условия. Пусть начальные координата и скорость равны \(x_i\) и \(u_i\). Для первого участка:

\[v_x=u_i+a_1t,\qquad x=x_i+u_it+\frac{a_1t^2}{2}.\]

Для второго участка скорость постоянна и равна \(u_i+a_1t_1\):

\[v_x=u_i+a_1t_1,\qquad x=x_i+u_it_1+\frac{a_1t_1^2}{2}+(u_i+a_1t_1)(t-t_1).\]

Для третьего участка, положив \(\tau=t-t_2\), получаем:

\[v_x=u_i+a_1t_1+a_2\tau,\]

\[x=x_i+u_it_1+\frac{a_1t_1^2}{2}+(u_i+a_1t_1)(t_2-t_1)+(u_i+a_1t_1)\tau+\frac{a_2\tau^2}{2}.\]

График пути строится по формуле \(s(t)=\int_0^t|v_x(\xi)|\,d\xi\): он совпадает с изменением координаты на участках, где скорость положительна, и растёт в противоположном направлении, когда скорость отрицательна. В точке смены знака скорости график пути имеет горизонтальную касательную.

Для пункта а) подставить \(x_i=0, u_i=0\); для б) — \(x_i=x_0, u_i=0\); для в) — \(x_i=0, u_i=v_0\); для г) — \(x_i=0, u_i=-v_0\). Пункты а) и б) имеют одинаковые графики скорости и пути, а график координаты в б) сдвинут вверх на \(x_0\) относительно а). В пунктах в) и г) скорость на первом участке соответственно \(v_0+a_1t\) и \(-v_0+a_1t\); дальнейшие участки определяются приведёнными формулами. Чтобы однозначно изобразить графики и точки смены знака скорости численно, необходимы значения \(a_1,a_2,t_1,t_2,t_3\) и \(v_0\), которых на рисунке нет. Формулы выше задают требуемые графики для любых этих параметров, согласованных с условием.