1.53. Шар радиуса R = 10,0 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением a = 2,50 см/с². Через t = 2,00 с после начала движения его положение соответствует рис. 1.6. Найти: а) скорости точек A и B; б) ускорения точек A и O.

Дано: \(R=10{,}0\) см, \(a_C=2{,}50\) см/с², \(t=2{,}00\) с. Шар начинает движение из состояния покоя.

Скорость центра:

\[v_C=a_Ct=2{,}50\cdot2{,}00=5{,}00\text{ см/с}.\]

При качении без скольжения:

\[\omega=\frac{v_C}{R}=\frac{5{,}00}{10{,}0}=0{,}500\text{ рад/с}.\]

Угловое ускорение:

\[\alpha=\frac{a_C}{R}=\frac{2{,}50}{10{,}0}=0{,}250\text{ рад/с}^2.\]

а) Скорости точек.

Для верхней точки A направление поступательной и вращательной скоростей совпадает:

\[v_A=v_C+\omega R=5{,}00+5{,}00=10{,}0\text{ см/с}.\]

Точка A движется горизонтально вправо.

Для точки B скорость складывается из горизонтальной скорости центра и вертикальной вращательной скорости:

\[v_{Bx}=5{,}00\text{ см/с},\qquad v_{By}=-5{,}00\text{ см/с}.\]

\[|v_B|=\sqrt{5{,}00^2+5{,}00^2}=7{,}07\text{ см/с}.\]

Направление скорости B — под углом \(45^\circ\) вниз и вправо.

б) Ускорения точек.

Нормальное ускорение относительно центра:

\[a_n=\omega^2R=0{,}500^2\cdot10{,}0=2{,}50\text{ см/с}^2.\]

Для точки A тангенциальное ускорение направлено вправо, а нормальное — вниз:

\[a_{Ax}=a_C+\alpha R=2{,}50+2{,}50=5{,}00\text{ см/с}^2,\]

\[a_{Ay}=-a_n=-2{,}50\text{ см/с}^2.\]

\[|a_A|=\sqrt{5{,}00^2+2{,}50^2}=5{,}59\text{ см/с}^2.\]

Для точки O тангенциальное ускорение направлено влево, поэтому оно компенсирует ускорение центра; нормальное ускорение направлено вверх:

\[a_{Ox}=a_C-\alpha R=2{,}50-2{,}50=0,\qquad a_{Oy}=2{,}50\text{ см/с}^2.\]

Ответ: \(v_A=10{,}0\) см/с вправо; \(|v_B|=7{,}07\) см/с, под углом \(45^\circ\) вниз вправо; \(\vec a_A=(5{,}00; -2{,}50)\) см/с², \(|a_A|=5{,}59\) см/с²; \(\vec a_O=(0; 2{,}50)\) см/с², то есть ускорение точки O направлено вверх.