1.54. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра равен r. Найти радиусы кривизны траекторий точек A и B (рис. 1.6).

Пусть цилиндр катится с постоянной скоростью центра \(v\). Тогда \(v=\omega r\), где \(\omega\) — угловая скорость.

Точка A. В верхней точке скорость равна \(v_A=2v=2\omega r\). Ускорение точки направлено к центру цилиндра и равно \(a_A=\omega^2r\). Поэтому радиус кривизны:

\[\rho_A=\frac{v_A^2}{a_A}=\frac{(2\omega r)^2}{\omega^2r}=4r.\]

Точка B. Скорость точки имеет взаимно перпендикулярные составляющие \(v\) и \(\omega r=v\), поэтому

\[v_B=\sqrt{v^2+v^2}=\sqrt2\,v.\]

Ускорение точки B направлено к центру и имеет величину \(a_B=\omega^2r\). Нормальная составляющая ускорения относительно направления скорости равна \(a_B/\sqrt2\). Следовательно,

\[\rho_B=\frac{v_B^2}{a_B/\sqrt2}=\frac{2v^2\sqrt2}{\omega^2r}=2\sqrt2\,r.\]

Ответ: \(\rho_A=4r\); \(\rho_B=2\sqrt2\,r\).