1.57. Қез келген натурал n саны үшін бөлшектерді бүтін сан болатын етіп көрсетіңіз: 1) (10ⁿ + 2)/3; 2) (10ⁿ + 8)/9; 3) (10ⁿ + 5)/5; 4) (101·10²ⁿ + 9)/11.

1) 10 ≡ 1 (mod 3), сондықтан 10ⁿ + 2 ≡ 1 + 2 = 3 ≡ 0 (mod 3). Демек, бөлшек бүтін сан.

2) 10 ≡ 1 (mod 9), сондықтан 10ⁿ + 8 ≡ 1 + 8 = 9 ≡ 0 (mod 9). Демек, бөлшек бүтін сан.

3) 10ⁿ саны 5-ке бөлінеді және 5 те 5-ке бөлінеді. Сондықтан қосындысы 10ⁿ + 5 те 5-ке бөлінеді.

4) 10² ≡ 1 (mod 11), демек 10²ⁿ = (10²)ⁿ ≡ 1 (mod 11). Сонда 101·10²ⁿ + 9 ≡ 2·1 + 9 = 11 ≡ 0 (mod 11), өйткені 101 ≡ 2 (mod 11).

Жауабы: төрт бөлшектің де мәні кез келген натурал n үшін бүтін сан болады.