1.67. С какой высоты падает тело без начальной скорости, если за последнюю секунду падения оно прошло в 4 раза больше расстояния, чем за первую секунду? Какой была продолжительность падения? \(g=10\ \text{м/с}^2\).

Путь за первую секунду:

\[s_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{10\cdot1^2}{2}=5\ \text{м}.\]

По условию путь за последнюю секунду в 4 раза больше:

\[s_{\text{посл}}=4s_1=20\ \text{м}.\]

Путь, пройденный за последнюю секунду падения длительностью \(t\):

\[s_{\text{посл}}=\frac g2\bigl(t^2-(t-1)^2\bigr).\]

Подставим значения:

\[20=5\bigl(t^2-(t-1)^2\bigr)=5(2t-1).\]

\[2t-1=4,\qquad t=2.5\ \text{с}.\]

Высота падения:

\[h=\frac{gt^2}{2}=\frac{10\cdot2.5^2}{2}=31.25\ \text{м}.\]

Ответ: продолжительность падения — 2,5 с; высота — 31,25 м.