1.68. Свободно падающее тело в последние 10 с своего движения проходит 3/4 всего пути. Определите высоту, с которой падает тело без начальной скорости. \(g=10\ \text{м/с}^2\).

Пусть всё падение длится \(t\) секунд. Тогда весь путь:

\[H=\frac{gt^2}{2}=5t^2.\]

Путь за первые \(t-10\) секунд:

\[H_1=5(t-10)^2.\]

Следовательно, путь за последние 10 секунд:

\[H-H_1=5\bigl[t^2-(t-10)^2\bigr].\]

По условию этот путь равен \(\frac34H\):

\[5\bigl[t^2-(t-10)^2\bigr]=\frac34\cdot5t^2.\]

После упрощения:

\[t^2-(t-10)^2=\frac34t^2,\]

\[20t-100=\frac34t^2,\]

\[3t^2-80t+400=0.\]

Корни: \(t=20\ \text{с}\) и \(t=\frac{20}{3}\ \text{с}\). Второй корень не подходит, поскольку время падения должно быть больше 10 с. Поэтому \(t=20\ \text{с}\).

Высота:

\[H=\frac{10\cdot20^2}{2}=2000\ \text{м}.\]

Ответ: 2000 м.