1. a) \(\frac{1}{42} + \frac{31}{39}\) ; b) \(\frac{9.5+8.9}{2.3}\) ; 2. a) \(4\frac{1}{4} : (2\frac{7}{10} - 3\frac{1}{8})\) ; b) \(2\frac{17}{18} - 1\frac{31}{38}\)

Задание 1. Вычисления с дробями

a) \(\frac{1}{42} + \frac{31}{39}\)

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 42 и 39 — это 546.

\( \frac{1}{42} = \frac{1 \times 13}{42 \times 13} = \frac{13}{546} \)

\( \frac{31}{39} = \frac{31 \times 14}{39 \times 14} = \frac{434}{546} \)

Теперь сложим дроби:

\[ \frac{13}{546} + \frac{434}{546} = \frac{13 + 434}{546} = \frac{447}{546} \]

Сократим дробь. Оба числа делятся на 3:

\[ \frac{447}{546} = \frac{447 \div 3}{546 \div 3} = \frac{149}{182} \]

Ответ: \( \frac{149}{182} \)

b) \(\frac{9.5+8.9}{2.3}\)

Сначала сложим числа в числителе:

\( 9.5 + 8.9 = 18.4 \)

Теперь разделим результат на знаменатель:

\[ \frac{18.4}{2.3} = 184 \div 23 \]

\( 184 \div 23 = 8 \)

Ответ: 8

Задание 2. Вычисления с дробями и смешанными числами

a) \(4\frac{1}{4} : (2\frac{7}{10} - 3\frac{1}{8})\)

Сначала выполним действия в скобках. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

\( 2\frac{7}{10} = \frac{2 \times 10 + 7}{10} = \frac{27}{10} \)

\( 3\frac{1}{8} = \frac{3 \times 8 + 1}{8} = \frac{25}{8} \)

Теперь вычтем дроби в скобках. Общий знаменатель для 10 и 8 — это 40:

\( \frac{27}{10} = \frac{27 \times 4}{10 \times 4} = \frac{108}{40} \)

\( \frac{25}{8} = \frac{25 \times 5}{8 \times 5} = \frac{125}{40} \)

Вычитаем:

\[ \frac{108}{40} - \frac{125}{40} = \frac{108 - 125}{40} = \frac{-17}{40} \]

Теперь выполним деление. Переведем первое смешанное число в неправильную дробь:

\( 4\frac{1}{4} = \frac{4 \times 4 + 1}{4} = \frac{17}{4} \)

Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

\[ \frac{17}{4} : \left(\frac{-17}{40}\right) = \frac{17}{4} \times \left(\frac{40}{-17}\right) = \frac{17 \times 40}{4 \times (-17)} \]

Сократим 17 и 40 с 4:

\[ \frac{17}{4} \times \frac{40}{-17} = \frac{1}{1} \times \frac{10}{-1} = -10 \]

Ответ: -10

b) \(2\frac{17}{18} - 1\frac{31}{38}\)

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

\( 2\frac{17}{18} = \frac{2 \times 18 + 17}{18} = \frac{36 + 17}{18} = \frac{53}{18} \)

\( 1\frac{31}{38} = \frac{1 \times 38 + 31}{38} = \frac{38 + 31}{38} = \frac{69}{38} \)

Теперь вычтем дроби. Найдем общий знаменатель для 18 и 38. Он равен 342.

\( \frac{53}{18} = \frac{53 \times 19}{18 \times 19} = \frac{1007}{342} \)

\( \frac{69}{38} = \frac{69 \times 9}{38 \times 9} = \frac{621}{342} \)

Вычитаем:

\[ \frac{1007}{342} - \frac{621}{342} = \frac{1007 - 621}{342} = \frac{386}{342} \]

Сократим дробь. Оба числа делятся на 2:

\[ \frac{386}{342} = \frac{386 \div 2}{342 \div 2} = \frac{193}{171} \]

Ответ: \( \frac{193}{171} \)