1. а) Построй четырёхугольник MNPK по координатам его вершин: M (0; 1), N (2; 5), P (5; 6), K (7; 0) б) Проведи диагонали MP и NK и найди координаты их точки пересечения А. A(__;__)

Решение:

Для построения четырёхугольника MNPK на координатной плоскости отметим точки:

• M(0; 1)
• N(2; 5)
• P(5; 6)
• K(7; 0)

Соединив эти точки последовательно, получим четырёхугольник MNPK.

Для нахождения точки пересечения диагоналей MP и NK найдём уравнения прямых, содержащих эти диагонали.

Уравнение прямой MP:

Через точки M(0; 1) и P(5; 6).

Угловой коэффициент \( k_{MP} = \frac{6-1}{5-0} = \frac{5}{5} = 1 \).

Уравнение прямой: \( y - y_M = k_{MP}(x - x_M) \) \( y - 1 = 1(x - 0) \) \( y = x + 1 \).

Уравнение прямой NK:

Через точки N(2; 5) и K(7; 0).

Угловой коэффициент \( k_{NK} = \frac{0-5}{7-2} = \frac{-5}{5} = -1 \).

Уравнение прямой: \( y - y_N = k_{NK}(x - x_N) \) \( y - 5 = -1(x - 2) \) \( y - 5 = -x + 2 \) \( y = -x + 7 \).

Найдем точку пересечения A:

Приравняем уравнения прямых:

\( x + 1 = -x + 7 \)

\( 2x = 6 \)

\( x = 3 \).

Подставим \( x=3 \) в уравнение \( y = x + 1 \):

\( y = 3 + 1 = 4 \).

Таким образом, точка пересечения диагоналей A имеет координаты (3; 4).

Ответ: A(3; 4).