1. АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Так как АВ и АС — отрезки касательных, проведенных из одной точки А к окружности, то АВ = АС. Следовательно, АС = 12 см.
2. Шаг 2: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Пусть В — точка касания. Тогда радиус ОВ перпендикулярен касательной АВ, значит, угол АВО = 90°.
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике АОВ катеты равны ОВ (радиус) и АВ. ОВ = 9 см (по условию, радиус окружности равен 9 см). АВ = 12 см (по условию).
4. Шаг 4: Гипотенуза АО находится по теореме Пифагора: \( AO^{2} = AB^{2} + OB^{2} \).
   \( AO^{2} = 12^{2} + 9^{2} = 144 + 81 = 225 \).
   \( AO = \sqrt{225} = 15 \) см.

Ответ: АС = 12 см, АО = 15 см.