1) BO = OC, ∠ABO = 67°, ∠CDO = 63°, ∠AOW = 120°. Найти ∠C.

Решение:

Поскольку \( BO = OC \) и \( \angle AOW = 120^{\circ} \), то \( \angle BOC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) (развёрнутый угол).

В треугольнике \( \triangle BOC \) имеем \( BO = OC \) и \( \angle BOC = 60^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle BOC \) — равносторонний, и \( \angle OBC = \angle OCB = 60^{\circ} \).

В \( \triangle ABO \): \( \angle BAO = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 67^{\circ} = 53^{\circ} \).

В \( \triangle CDO \): \( \angle DOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). \( \angle DCO = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 63^{\circ} = 17^{\circ} \).

\( \angle C = \angle OCB + \angle DCO = 60^{\circ} + 17^{\circ} = 77^{\circ} \).

Ответ: \( 77^{\circ} \).