3) CE = 10, AE = 20. CM — медиана. Найти \( \angle D \) и CM = ?

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( \triangle ACE \). \( \angle C = 90^{\circ} \).

CM — медиана. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Гипотенуза \( AE = 20 \).

Следовательно, \( CM = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \).

В \( \triangle CDE \) имеем \( CE = 10 \) и \( CM = 10 \). \( \triangle CME \) — равнобедренный.

В \( \triangle CAM \) имеем \( CA \) — катет. \( AE = 20 \), \( CE = 10 \). По теореме Пифагора в \( \triangle ACE \): \( AC^2 + CE^2 = AE^2 \) \( AC^2 + 10^2 = 20^2 \) \( AC^2 + 100 = 400 \) \( AC^2 = 300 \) \( AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \).

В \( \triangle AMC \) имеем \( AM = MC = 10 \). \( \triangle AMC \) — равнобедренный.

\( \angle MAC = \angle MCA \). В \( \triangle ACE \): \( \sin(\angle CAE) = \frac{CE}{AE} = \frac{10}{20} = 0.5 \). Следовательно, \( \angle CAE = 30^{\circ} \).

\( \angle AEC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В \( \triangle CME \) \( CM = ME = 10 \) (так как M — середина AE, то \( AM = ME = 10 \) и \( CM = 10 \)). \( \triangle CME \) — равнобедренный. \( \angle MCE = \angle MEC = 60^{\circ} \).

\( \angle DCE = 90^{\circ} \). \( \angle DCM = \angle DCE - \angle MCE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В \( \triangle CDM \) имеем \( CM = 10 \). \( MD = 10 \). \( \triangle CDM \) — равнобедренный. \( \angle MCD = \angle MDC = 30^{\circ} \).

\( \angle D \) — это \( \angle MDC \).

Ответ: \( \angle D = 30^{\circ}, CM = 10 \).